Добро пожаловать в увлекательный мир трехмерной геометрии, где пространство становится нашим игровым полем, а прямые и плоскости - нашими игроками. Сегодня мы погрузимся в тему "Перпендикулярность прямых и плоскостей".

1. Перпендикулярность прямой и плоскости

В трехмерном пространстве прямая может быть перпендикулярна плоскости. Это означает, что она пересекает плоскость под углом 90 градусов. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна всем прямым, которые лежат на этой плоскости и проходят через точку пересечения прямой с плоскостью.

Задача: Дана плоскость и прямая, перпендикулярная ей. Докажите, что прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости и проходящей через точку пересечения прямой и плоскости.

2. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах гласит: если из точки, не лежащей на плоскости, опущены перпендикуляры на плоскость и на любую прямую этой плоскости, то перпендикуляр на прямую короче перпендикуляра на плоскость.

3. Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и перпендикуляром, опущенным на эту прямую из точки пересечения прямой и плоскости.

4. Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Двугранный угол - это угол между двумя плоскостями. Две плоскости перпендикулярны, если перпендикуляр, опущенный из любой точки одной плоскости на другую плоскость, перпендикулярен обеим плоскостям.

5. Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед - это многогранник, у которого все грани - прямоугольники, и все ребра перпендикулярны своим смежным ребрам.

Задача: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 3, BC = 4, AA₁= 5. Найдите объем этого параллелепипеда.

Решение: Объем параллелепипеда находится как произведение его трех взаимно перпендикулярных сторон. V = AB · BC · AA₁ = 3 · 4 · 5 = 60.