Сегодня мы отправимся в увлекательный мир тригонометрических формул. Если вы когда-либо задавались вопросом, как связаны синус, косинус и тангенс с углами, то этот конспект поможет найти ответы.

Радианная мера угла.

Поворот точки вокруг начала координат: Перед тем, как мы окунемся в тригонометрию, давай познакомимся с радианной мерой угла. Радианная мера измеряет угол в зависимости от длины дуги на окружности. При повороте точки вокруг начала координат угол измеряется в радианах, где полный оборот равен 2π радианам.

Определение синуса, косинуса и тангенса:

Синус, косинус и тангенс - это три основных тригонометрических функции, которые связаны с углами.

Синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Знаки синуса, косинуса и тангенса:

Знаки синуса, косинуса и тангенса зависят от четверти, в которой находится угол. В первой четверти все три функции положительны, во второй - только синус, в третьей - только тангенс, а в четвертой - только косинус.

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла:

Синус и косинус одного и того же угла связаны следующим образом: sin²(α) + cos²(α) = 1. Кроме того, тангенс угла α равен отношению синуса косинуса: tg(α) = sin(α) / cos(α).

Тригонометрические тождества:

Существует несколько тригонометрических тождеств, которые помогают нам упрощать и преобразовывать выражения. Некоторые из них:

Тождество Пифагора: sin²(α) + cos²(α) = 1.

Тождество четности: sin(-α) = -sin(α), cos(-α) = cos(α).

Тождество кратности: sin(2α) = 2sin(α)cos(α), cos(2α) = cos²(α) - sin²(α).

Тождество половинного угла: sin(α/2) = ±√((1 - cos(α)) / 2), cos(α/2) = ±√((1 + cos(α)) / 2).

Преобразование тригонометрических выражений:

Мы можем использовать тригонометрические формулы и тождества для преобразования сложных тригонометрических выражений в более простые. Например, используя тождество сложения, мы можем раскрыть синус или косинус суммы двух углов.

Синус, косинус и тангенс противоположных углов:

Синус, косинус и тангенс противоположных углов имеют равные значения, но противоположные знаки. Например, sin(α + π) = -sin(α), cos(α + π) = -cos(α), tg(α + π) = -tg(α).

Формулы сложения: Формулы сложения позволяют нам выразить синус, косинус и тангенс суммы двух углов через синусы, косинусы и тангенсы отдельных углов. Например:

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β).

cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β).

tg(α + β) = (tg(α) + tg(β)) / (1 - tg(α)tg(β)).

Формулы двойных углов:

Формулы двойных углов позволяют нам выразить синус, косинус и тангенс двойного угла через синусы, косинусы и тангенсы исходного угла. Например:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α).

cos(2α) = cos²(α) - sin²(α).

tg(2α) = (2tg(α)) / (1 - tg²(α)).

Формулы половинного угла:

Формулы половинного угла позволяют нам выразить синус, косинус и тангенс половинного угла через синус, косинус и тангенс исходного угла. Например:

sin(α/2) = ±√((1 - cos(α)) / 2).

cos(α/2) = ±√((1 + cos(α)) / 2).

tg(α/2) = ±√((1 - cos(α)) / (1 + cos(α))).

Формулы приведения:

Формулы приведения позволяют нам выразить синус и косинус угла через синус и косинус угла с другим знаком. Например:

sin(-α) = -sin(α).

cos(-α) = cos(α).

Произведение синусов и косинусов:

Произведение синусов и косинусов можно выразить через сумму или разность синусов и косинусов. Например:

sin(α)sin(β) = (1/2)[cos(α - β) - cos(α + β)].

cos(α)cos(β) = (1/2)[cos(α - β) + cos(α + β)].

Заключение:

Тригонометрические формулы - это мощный инструмент, позволяющий нам исследовать связи между углами и тригонометрическими функциями. Мы рассмотрели радианную меру угла, определения синуса, косинуса и тангенса, знаки функций, тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойных углов, формулы половинного угла, формулы приведения и произведение синусов и косинусов. Удачи в изучении тригонометрии!