Образовательная панель 6
Серии последовательных испытаний
Краткая теория для тебя
Бинарный случайный опыт. Успех и неудача. Серия независимых испытаний до первого успеха
Бинарный случайный опыт (испытание) — это повторяющийся эксперимент с двумя исходами: «успех» (с вероятностью p) и «неудача» (с вероятностью q = 1 − p). Испытания считаются независимыми: результат одного не влияет на другой.
Серия до первого успеха описывается геометрическим распределением. Если N — номер испытания первого успеха, то
P(N = k) = q^(k−1)·p, k = 1,2,3,…
Примеры:
– Подброс честной монеты (p = ½). Вероятность первого «орла» на третьем броске: P = (½)^2·(½) = 1/8.
– Контроль деталей с вероятностью бракa p = 0,02. Вероятность найти первую бракованную на 5-й проверке: P = (0,98)^4·0,02 ≈ 0,00036.
Бинарный случайный опыт (испытание) — это повторяющийся эксперимент с двумя исходами: «успех» (с вероятностью p) и «неудача» (с вероятностью q = 1 − p). Испытания считаются независимыми: результат одного не влияет на другой.
Серия до первого успеха описывается геометрическим распределением. Если N — номер испытания первого успеха, то
P(N = k) = q^(k−1)·p, k = 1,2,3,…
Примеры:
– Подброс честной монеты (p = ½). Вероятность первого «орла» на третьем броске: P = (½)^2·(½) = 1/8.
– Контроль деталей с вероятностью бракa p = 0,02. Вероятность найти первую бракованную на 5-й проверке: P = (0,98)^4·0,02 ≈ 0,00036.
Серия независимых испытаний Бернулли
При фиксированном числе n независимых испытаний с успехом с вероятностью p число успехов X имеет биномиальное распределение:
P(X = k) = C(n,k)·p^k·q^(n−k), k = 0,1,…,n, где C(n,k) = n!/(k!(n−k)!).
Примеры:
– Бросили монету 10 раз, p=½. Вероятность ровно трёх «орлов»: P = C(10,3)·(½)^3·(½)^7 = 120/1024 ≈ 0,117.
– В партии из 20 деталей p=0,05 брак. Вероятность ровно двух бракованных: P = C(20,2)·0,05²·0,95¹⁸ ≈ 0,074
При фиксированном числе n независимых испытаний с успехом с вероятностью p число успехов X имеет биномиальное распределение:
P(X = k) = C(n,k)·p^k·q^(n−k), k = 0,1,…,n, где C(n,k) = n!/(k!(n−k)!).
Примеры:
– Бросили монету 10 раз, p=½. Вероятность ровно трёх «орлов»: P = C(10,3)·(½)^3·(½)^7 = 120/1024 ≈ 0,117.
– В партии из 20 деталей p=0,05 брак. Вероятность ровно двух бракованных: P = C(20,2)·0,05²·0,95¹⁸ ≈ 0,074
Проверь себя
Квиз по теме «Серии последовательных испытаний»
Проверьте свои знания и узнайте, насколько хорошо вы усвоили тему. Вы можете ответить на эти вопросы?
В серии до первого успеха с p=0,2 вероятность N=3 равна…
В 5 самостоятельных испытаниях с p=0,3 P(X=2) = …
Какое распределение описывает число испытаний до первого успеха?
При независимых испытаниях правило умножения: P(A и B) = …
Ничего страшного
Повтори еще раз
Ничего страшного
Повтори еще раз
Ничего страшного
Повтори еще раз
Хороший результат
Повтори еще раз
Хороший результат!
Повтори еще раз
Отлично!
Частые вопросы по теме
q³ = (0,9)³ = 0,729
1/p = 4
E(X) = Σ k·C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ = np.
P(N > m + k | N > m) = P(N > k), нет «памяти» о прошлых неудачах.
Поиск исправной лампочки в партии до нахождения первой годной.