Примеры применения математического ожидания
В страховании рассчитывают справедливую премию на основании вероятности страхового случая и средней выплаты.
Пример: вероятность наступления риска p = 0,01, средний размер выплаты L = 1 000 000 ₽
Математическое ожидание выплаты
E(X) = p * L + (1 – p) * 0 = 0,01 * 1 000 000 = 10 000 ₽
Премию устанавливают чуть выше этого значения.

В лотерее 10 000 билетов по 100 ₽: один выигрыш 50 000 ₽, девять по 1 000 ₽, остальные без выигрыша
Сумма выигрышей = 1 * 50 000 + 9 * 1 000 + 9 990 * 0 = 59 000
Средний выигрыш E(X) = 59 000 / 10 000 = 5,9 ₽
Чистое математическое ожидание для игрока = 5,9 – 100 = –94,1 ₽

Математическое ожидание суммы случайных величин
Для любых случайных величин X и Y
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Пример: два броска кости X₁ и X₂, E(X₁) = 3,5, E(X₂) = 3,5
E(X₁ + X₂) = 7

Математическое ожидание геометрического распределения
Пусть N — номер испытания первого успеха при независимых испытаниях с вероятностью успеха p
E(N) = 1 / p
Пример: p = 0,2 ⇒ E(N) = 5

Математическое ожидание биномиального распределения
Пусть X — число успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p
E(X) = n * p
Пример: n = 10, p = 0,3 ⇒ E(X) = 3