Закон больших чисел
Закон больших чисел гласит: если провести много независимых однотипных испытаний и вычислить среднее арифметическое результатов, то это среднее окажется близким к истинному математическому ожиданию каждого испытания.

Пусть X₁, X₂, …, Xₙ — независимые одинаково распределённые случайные величины с математическим ожиданием μ. Обозначим выборочное среднее
X̄ₙ = (X₁ + X₂ + … + Xₙ) / n.
Закон больших чисел утверждает, что для любого ε > 0 вероятность
P( | X̄ₙ – μ | < ε )
стремится к 1 при n → ∞.

Пример. Подброс монеты
При подбрасывании честной монеты вероятность «орла» μ = 0.5. Если бросить монету n = 10 раз и получить, скажем, 6 «орлов», то выборочная частота 6/10 = 0.6 отстоит от 0.5 на 0.1. При n = 100 выборочная частота стремится к 0.5 всё ближе.

Выборочный метод исследований
Когда нельзя обработать всю генеральную совокупность, берут случайную выборку из n объектов:
• Каждый элемент генеральной совокупности имеет равный шанс попасть в выборку.
• Выборочное среднее X̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n приближается к истинному среднему μ при увеличении n.
• Выборочная дисперсия s² = [Σ (xᵢ – X̄)²] / (n – 1) оценивает разброс, а стандартная ошибка X̄ равна s / √n.
• По центральной предельной теореме X̄ примерно нормально распределено при большом n, поэтому 95% доверительный интервал для μ строят как
X̄ ± 1.96 * (s / √n).

Примеры применения
– Опрос населения: по выборке в несколько тысяч человек судят о всей стране.
– Контроль качества: проверяют случайные детали из партии и на основе этого судят о браке во всей партии.
– Медицинские исследования: по группе пациентов делают выводы об эффективности лечения.