Умножение и деление натуральных чисел

Действие умножения. Свойства умножения

Умножение ― это операция, которая позволяет найти произведение двух или более чисел. Произведение обозначается символом "×" или "·", например, 4 × 3 или 4 · 3.

Свойства умножения:

Свойство коммутативности. Порядок сомножителей не влияет на результат умножения. Например, 2 × 3 = 3 × 2. Например, умножение числа 5 на 7 даёт результат 35, а умножение числа 7 на 5 также дает результат 35.

Свойство ассоциативности. Порядок выполнения умножения не влияет на результат. Например, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4). Например, (4 × 3) × 2 = 24, а 4 × (3 × 2) = 24.

Свойство дистрибутивности. Умножение можно распределить на сумму или разность. Например, 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4). Например, 2 × 7 = 14, и (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14.

Умножение на 1. Любое число, умноженное на 1, дает в результате само это число. Например, 5 × 1 = 5, 8 × 1 = 8.

Умножение на 0. Любое число, умноженное на 0, дает в результате 0. Например, 3 × 0 = 0, 7 × 0 = 0.

Действие деления. Свойства деления

Деление ― это операция, обратная умножению. Оно позволяет нам разделить одно число на другое и найти результат, который называется частным. Деление обозначается символом "÷" или "/". Например, 10 ÷ 2 или 10 / 2.

Свойства деления:

Свойство деления на 1: Любое число делится на 1 без изменения. Например, 8 ÷ 1 = 8.

Свойство деления числа на самого себя: Любое число делится на себя без остатка и результатом является 1. Например, 9 ÷ 9 = 1.

Деление на 0: Деление на 0 невозможно.

Деление с остатком

Деление с остатком возникает, когда одно число не делится нацело на другое. Остаток ― это число, которое остается после выполнения деления. Например, при делении 10 на 3, получим частное 3 и остаток 1: 10 ÷ 3 = 3 (остаток 1). Например, при делении 17 на 5, получим частное 3 и остаток 2: 17 ÷ 5 = 3 (остаток 2).

Упрощение выражений

Упрощение выражений― это процесс, в результате которого мы сокращаем или объединяем части выражения, чтобы упростить его. Например, выражение 3 × (4 + 2) можно упростить, выполнив операцию в скобках: 3 × 6. Вот еще несколько примеров упрощения выражений:

5 × (2 + 3) = 5 × 5 = 25

2 × (4 + 6) = 2 × 10 = 20

8 × (7 – 3) = 8 × 4 = 32

12 ÷ (6 ÷ 2) = 12 ÷ 3 = 4

Порядок действий в вычислениях

При выполнении вычислений необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и наконец сложение и вычитание (слева направо). Например, выражение 2 + 3 × 4 – 5 выполняется следующим образом:
2 + (3 × 4) – 5 = 2 + 12 – 5 = 14 – 5 = 9.

Например, выражение 6 + 4 ÷ 2 – 1 выполняется следующим образом:
6 + (4 ÷ 2) – 1 = 6 + 2– 1 = 8 – 1 = 7.

Степень с натуральным показателем

Степень―  это операция, которая позволяет нам возвести число в натуральную степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием, а натуральное число, указывающее количество умножений, называется показателем степени. Например, 2 в степени 3 обозначается как 2³ и равно 2 × 2 × 2 = 8. Например, 3 в степени 4 обозначается как 3⁴ и равно 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Делители и кратные

Делитель ― это число, на которое можно разделить другое число без остатка. Например, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Например, делители числа 10: 1, 2, 5 и 10.
Кратное ― это число, которое делится на другое число без остатка. Например, числа 8, 16 и 24 являются кратными числа 8.

Признаки делимости

Признаки делимости помогают определить, делится ли число на другое без необходимости выполнения деления. Вот несколько примеров:

Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Например, число 16 делится на 2, так как его последняя цифра ― 6.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, число 15 делится на 3, так как сумма чисел (1 + 5 = 6) делится на 3.

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Например, число 25 делится на 5, так как его последняя цифра ― 5.

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, число 99 делится на 9, так как сумма чисел (9 + 9 = 18) делится на 9.