Обыкновенные дроби

Доли и дроби. Изображение дробей на координатном луче

Доля ―  это часть от целого. Дроби представляют отношение одной доли к другой. Дробь состоит из числителя и знаменателя. Числитель показывает, сколько частей мы имеем, а знаменатель показывает, на сколько частей разделено целое.
Например, в дроби ¾ , числитель равен 3, а знаменатель равен 4. Это означает, что у нас есть 3 части из 4.
Изображение дробей на координатном луче помогает наглядно представить доли и их отношение друг к другу. Числитель представлен точкой или отрезком на определенном расстоянии от начала координат, а знаменатель определяет шаг, на который мы будем двигаться.

Сравнение дробей

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями мы смотрим на их числители. Чем больше числитель, тем больше дробь. Например, если у нас есть дроби ⅗ и ⅘ , то ⅘ больше, так как числитель 4 больше числителя 3.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, мы должны привести их к общему знаменателю и сравнить их числители. Для этого мы используем понятие "наименьшее общее кратное" (НОК) знаменателей. НОК ― это наименьшее число, которое делится на все знаменатели без остатка.
Например, сравним дроби ⅔ и ⅝ . Знаменатели 3 и 8 не равны, поэтому их нужно привести к общему знаменателю. НОК (3 × 8) = 24. Приведем дроби к общему знаменателю, умножив числители и знаменатели на соответствующие числа: ⅔ = (2 × 8)/(3 × 8) = 16/24 и ⅝ = (5 × 3)/(8 × 3) = 15/24. Теперь мы можем сравнить числители и увидеть, что 16/24 больше, чем 15/24.

Правильные и неправильные дроби

Правильная дробь ― это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, ⅖ является правильной дробью, так как 2 < 5.
Неправильная дробь ― это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Например, 7/4 является неправильной дробью, так как 7 >= 4.
Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Целая часть ― это результат деления, а остаток ― это дробная часть, которая остается после выделения целой части.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями складываем или вычитаем их числители и записываем результат над общим знаменателем. Например, ⅔ + ⅓ = 3/3 = 1 или ⅘ – ⅖ = ⅖ .

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями приводим их к общему знаменателю. Находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, умножаем числители и знаменатели на соответствующие числа, чтобы получить дроби с одинаковыми знаменателями, и затем складываем или вычитаем их числители.
Пример сложения:
Рассмотрим дроби ⅓ и ⅖ . Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель. НОК (3×5) = 15. Теперь приведем дроби к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на такие числа, чтобы знаменатели стали равными 15. Получаем 5/15 и 6/15. Теперь мы можем сложить числители: 5/15 + 6/15 = 11/15.
Пример вычитания:
Рассмотрим дроби ¾ и ⅙ . Чтобы вычесть одну дробь из другой, приводим их к общему знаменателю. НОК (4, 6) = 12. Приведем дроби к общему знаменателю. Получаем 9/12 и 2/12. Теперь мы можем вычесть числители: 9/12 – 2/12 = 7/12.

Смешанные числа

Смешанное число ― это число, состоящее из двух частей ― целой и дробной. Например, 2¼ ― это смешанное число, где 2 ― целая часть, а ¼ ―  дробная часть.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Для сложения или вычитания смешанных чисел складываем или вычитаем их целые части и дробные части отдельно. Например, 2¼ + 1¾ = (2 + 1) + (¼ + ¾) = 3 + 4/4 = 4 .

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же число, то дробь не изменится. Например, дроби 2/3и 4/6 эквивалентны, так как из дроби 2/3 можно получить дробь 4/6, умножив числитель и знаменатель на 2, а из дроби 4/6 можно получить дробь 2/3, поделив числитель и знаменатель на 2.

Сокращение дробей

Сокращение дробей ―  это процесс уменьшения числителя и знаменателя до их наименьших значений путем деления их наибольший общий делитель (НОД). НОД ― это наибольшее число, на которое делятся без остатка и числитель, и знаменатель .
Например, рассмотрим дробь 8/12. Чтобы сократить эту дробь, мы должны найти НОД числителя 8 и знаменателя 12. НОД (8, 12) = 4. Делим числитель и знаменатель на 4 и получаем 8/12 = 2/3.
Сокращение дробей помогает нам работать с более простыми и удобными дробями, сохраняя при этом их эквивалентность и соотношение между числителем и знаменателем.

Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю позволяет складывать или вычитать дроби с разными знаменателями. Для этого находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, умножаем числители и знаменатели на соответствующие числа, чтобы получить дроби с одинаковыми знаменателями, и затем складываем или вычитаем их числители.

Пример 1:

Рассмотрим дроби 1/3 и 2/5. Знаменатели этих дробей равны  3 и 5. Найдем их наименьшее общее кратное: 3 × 5 =я 15. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель первой дроби (⅓ ) на 5, а числитель и знаменатель второй дроби (⅖ ) на 3. Получим: (1/3) × (5/5) = 5/15 и (2/5) × (3/3) = 6/15. Теперь обе дроби имеют общий знаменатель равный 15, и мы можем выполнять операции сложения или вычитания.

Пример 2:

Рассмотрим дроби 2/7 и 1/4. Знаменатели этих дробей равны 7 и 4. Найдем их наименьшее общее кратное: 7 × 4 = 28. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель первой дроби (2/7) на 4, а числитель и знаменатель второй дроби (1/4) на 7. Получим: (2/7) × (4/4) = 8/28 и (1/4) × (7/7) = 7/28. Теперь обе дроби имеют общий знаменатель 28, и мы можем выполнять операции сложения или вычитания.

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

При сравнении дробей с разными знаменателями приводим их к общему знаменателю и сравниваем их числители. Чем больше числитель, тем больше дробь.
При сложении или вычитании дробей с разными знаменателями приводим их к общему знаменателю, складываем или вычитаем их числители и записываем результат над общим знаменателем.