УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Действие умножения. Свойства умножения

Умножение― это математическая операция, которая позволяет найти произведение двух или более чисел. Умножение обозначается символом "×" или "·", например, 4 × 3 или 4 · 3.
Запомни! Числа, которые перемножают, называют множителями, а результат умножения – произведением этих чисел

Свойства умножения:

1) Переместительное свойство.
Порядок множителей не влияет на результат умножения. Например, 2 × 3 = 3 × 2. Например, умножение числа 5 на 7 даёт результат 35, а умножение числа 7 на 5 также дает результат 35.
2) Сочетательное свойство.
Порядок выполнения умножения не влияет на результат.
Например, (2 × 3) × 4 =24, 2 × (3 × 4) = 24,
(4 × 3) × 2 = 24, 4 × (3 × 2) = 24.
3) Распределительное свойство.
Умножение можно распределить на сумму или разность.
Например, 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4)
2 × 7 = 14, и (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14.
4) Умножение на 1.
Любое число, умноженное на 1, дает в результате само это число.
Например, 5 × 1 = 5, 8 × 1 = 8.
5) Умножение на 0.
Любое число, умноженное на 0, дает в результате 0.
Например, 3 × 0 = 0, 7 × 0 = 0.

Действие деления. Свойства деления

Деление― это математическая операция, обратная умножению. Оно позволяет нам разделить одно число (делимое) на другое (делитель) и найти результат (частное). Деление обозначается символом "÷" или "/". Например, 10 ÷ 2 или 10 / 2.

Свойства деления:
1) Свойство деления на 1.
Любое число делится на 1 без изменения. Например, 8 ÷ 1 = 8.
2) Свойство деления числа на самого себя.
Любое число делится на себя без остатка и результатом является 1. Например, 9 ÷ 9 = 1.
3) Деление на 0.
Запомни! Делить на 0 нельзя!

Деление с остатком

Деление с остатком возникает, когда одно число не делится нацело на другое.
Остаток― это число, которое остается после выполнения деления.
Например, при делении 10 на 3, получим частное 3 и остаток 1. Записывается так:
10 ÷ 3 = 3 (остаток 1).
Например, при делении 17 на 5, получим частное 3 и остаток 2.
Записывается так: 17 ÷ 5 = 3 (остаток 2).

УПРОЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

Упрощение выражений― это процесс, в результате которого мы сокращаем или объединяем части выражения, чтобы упростить его.
Например, выражение 3 × (4 + 2) можно упростить, выполнив операцию в скобках: 3 × 6.

Но есть и особые свойства, помогающие произвести вычисления быстро:
1) Распределительное свойство умножения относительно сложения: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.
2) Распределительное свойство умножения относительно вычитания: чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.

ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ

При выполнении вычислений необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и наконец сложение и вычитание (слева направо).
Например, 3начение выражения
823 + 16 × (5903 – 5818) : 5 – 805
найдем следующим образом:
1) 5903 – 5818 = 85
2) 16 × 85 = 1360
3) 1360 : 5 = 272
4) 823 + 272 = 1095
5) 1095– 805 = 290

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Степень― это операция, которая позволяет нам произвести перемножение числа само на себя указанное количество раз. Число, которое возводится в степень, называется основанием, а натуральное число, указывающее количество умножений, называется показателем степени.
Например, 2 в степени 3 обозначается как 2³ и равно 2 × 2 × 2 = 8.
Например, 3 в степени 4 обозначается как 3⁴ и равно 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ

Делитель ― это число, на которое можно разделить другое число без остатка. Например, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Например, делители числа 10: 1, 2, 5 и 10.
Интересно, что:
1) число 1 является делителем любого натурального числа,
2) у любого натурального числа кратных бесконечно много.

Простое натуральное число — это число, у которого есть только два делителя: единица и само это число.
Например, число 12 имеет шесть делителей (1, 2, 3, 4, 6, 12), поэтому оно не является простым.
Натуральные числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.
Разложить на множители – значит представить число в виде произведения чисел.
Например, 12 = 1 * 12 = 2 * 6 = 3 * 4


Кратное― это число, которое делится на другое число без остатка.
Например, числа 8, 16 и 24 являются кратными числа 8.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Признаки делимости помогают определить, делится ли число на другое без необходимости выполнения деления.

Вот несколько примеров:

Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Например, число 16 делится на 2, так как его последняя цифра ― 6.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, число 15 делится на 3, так как сумма чисел (1 + 5 = 6) делится на 3.

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Например, число 25 делится на 5, так как его последняя цифра ― 5.

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, число 99 делится на 9, так как сумма чисел (9 + 9 = 18) делится на 9.