Формулы сокращенного умножения - это специальные формулы, которые используются для упрощения процесса умножения многочленов. Они являются частным случаем бинома Ньютона и изучаются в средней школе в курсе алгебры. В этом конспекте мы рассмотрим основные формулы сокращенного умножения и приведем примеры их применения.

1. Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы двух выражений: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности двух выражений: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Пример:

Пусть a = 3 и b = 2, тогда:

(a + b)² = (3 + 2)² = 52 = 25

Проверка: a² + 2ab + b² = 32 + 2 · 3 · 2 + 22 = 9 + 12 + 4 = 25

2. Разность квадратов, сумма и разность кубов

Разность квадратов: a² - b² = (a + b)(a - b)

Куб суммы (разности) двух чисел: (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Сумма (разность) кубов: a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

Пример:

Пусть a = 3 и b = 2, тогда:

a² - b² = 32 - 22 = 9 - 4 = 5

Проверка: (a + b)(a - b) = (3 + 2)(3 - 2) = 5 · 1 = 5

3. Преобразование целых выражений

Преобразование целых выражений включает в себя применение формул сокращенного умножения для упрощения сложных выражений.

Пример:

Пусть дано выражение (2x + 3)². Применим формулу квадрата суммы:

(2x + 3)² = (2x)² + 22x³ + 32 = 4x² + 12x + 9

Заключение

Формулы сокращенного умножения являются мощным инструментом для упрощения и преобразования алгебраических выражений. Они позволяют сократить время и усилия, необходимые для выполнения сложных умножений и делений, и являются основой для понимания более сложных концепций в алгебре.