Образовательная панель 3
Геометрическая вероятность
Краткая теория для тебя
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности
Геометрическая вероятность события A при равновероятном выборе точки внутри множества S определяется как отношение меры благоприятной области S_A к мере всего множества S:
P(A) = SA : S
В зависимости от задачи мера может быть длиной (для отрезка или дуги), площадью (для фигур на плоскости) или угловой мерой (для дуги окружности).
Пример 1. Отрезок
Пусть на отрезке AB длины L выбирают случайную точку. Событие A — точка попала в подотрезок CD длины l. Тогда
P(A) = l ÷ L.
Геометрическая вероятность события A при равновероятном выборе точки внутри множества S определяется как отношение меры благоприятной области S_A к мере всего множества S:
P(A) = SA : S
В зависимости от задачи мера может быть длиной (для отрезка или дуги), площадью (для фигур на плоскости) или угловой мерой (для дуги окружности).
Пример 1. Отрезок
Пусть на отрезке AB длины L выбирают случайную точку. Событие A — точка попала в подотрезок CD длины l. Тогда
P(A) = l ÷ L.
Здесь AB = L, CD = l, и вероятность попасть в [C,D] равна l/L.
Пример 2. Прямоугольник
На внутренности прямоугольника со сторонами a и b выбирают точку. Событие B — точка попала в «красную» часть (например, подпрямоугольник размером c×d).
Тогда
P(B) = (c·d) ÷ (a·b).
Пример 2. Прямоугольник
На внутренности прямоугольника со сторонами a и b выбирают точку. Событие B — точка попала в «красную» часть (например, подпрямоугольник размером c×d).
Тогда
P(B) = (c·d) ÷ (a·b).
Пример 3. Дуга окружности
Из точки на окружности радиуса R выбирают случайно направление луча. Событие C — луч попадёт в дугу AB длины s (угол φ = s/R).
Тогда
P(C) = s ÷ (2πR) = φ ÷ (2π).
Из точки на окружности радиуса R выбирают случайно направление луча. Событие C — луч попадёт в дугу AB длины s (угол φ = s/R).
Тогда
P(C) = s ÷ (2πR) = φ ÷ (2π).
Проверь себя
Квиз по теме «Геометрическая вероятность»
Проверьте свои знания и узнайте, насколько хорошо вы усвоили тему. Вы можете ответить на эти вопросы?
При случайном выборе точки на отрезке длины 10 см подотрезок длиной 4 см соответствует вероятности…
Выбирая точку внутри прямоугольника 8×6 и «жёлтую» область 2×3, получим P =…
Для дуги окружности радиуса R длина дуги φ=π/2 даёт P =…
В каком случае используют площадь для вычисления геометрической вероятности?
Ничего страшного
Повтори еще раз
Ничего страшного
Повтори еще раз
Ничего страшного
Повтори еще раз
Хороший результат
Повтори еще раз
Хороший результат!
Повтори еще раз
Отлично!
Частые вопросы по теме
4/12 = 1/3
(π·3²)/(π·5²) = 9/25
1 − (6×6)/(10×10) = 1 − 36/100 = 64/100 = 0.64
Длину дуги (или центральный угол).
Чтобы каждая точка множества имела одинаковую шансы быть выбранной.