Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности

Геометрическая вероятность события A при равновероятном выборе точки внутри множества S определяется как отношение меры благоприятной области S_A к мере всего множества S:
P(A) = S_A : S

В зависимости от задачи мера может быть длиной (для отрезка или дуги), площадью (для фигур на плоскости) или угловой мерой (для дуги окружности).


Пример 1. Отрезок
Пусть на отрезке AB длины L выбирают случайную точку. Событие A — точка попала в подотрезок CD длины l. Тогда
P(A) = l ÷ L.

Здесь AB = L, CD = l, и вероятность попасть в [C,D] равна l/L.


Пример 2. Прямоугольник
На внутренности прямоугольника со сторонами a и b выбирают точку. Событие B — точка попала в «красную» часть (например, подпрямоугольник размером c×d).
Тогда
P(B) = (c·d) ÷ (a·b).



Пример 3. Дуга окружности
Из точки на окружности радиуса R выбирают случайно направление луча. Событие C — луч попадёт в дугу AB длины s (угол φ = s/R).
Тогда
P(C) = s ÷ (2πR) = φ ÷ (2π).