Случайная величина и распределение вероятностей
Случайная величина — это функция, которая каждому исходу случайного опыта ставит в соответствие число. Для дискретной X задают конечный или счётный набор значений xᵢ с вероятностями pᵢ так, чтобы Σ pᵢ = 1. Множество пар (xᵢ, pᵢ) называют законом распределения.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Математическое ожидание E(X) = Σ xᵢ pᵢ отражает «теоретическое» среднее значение X.
Дисперсия Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² pᵢ показывает, как сильно результаты разбросаны вокруг среднего.

Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины
– Бросок честной кости: возможные x = 1,2,3,4,5,6 с p = 1/6.
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5.
– Подброс монеты, принимаем X=1 при орле, X=0 при решке, p = 1/2.
E(X) = 1·(1/2) + 0·(1/2) = 0,5.

Понятие о законе больших чисел
При повторении n независимых опытов с одинаковым распределением среднее арифметическое результатов \bar Xₙ сходится к E(X) при n → ∞. Это утверждение позволяет связать теоретическую вероятность с практическими измерениями.

Измерение вероятностей с помощью частот
Относительная частота события A в n испытаниях fₙ(A) = n_A / n (где n_A — число появлений A) при большом n стремится к P(A).

Применение закона больших чисел
– В страховании: при большом числе договоров взносы определяют по усреднённым потерям.
– В метрологии: повторные измерения для оценки истинного значения величины.
– В социологии: опросы выборки большого объёма дают близкие к реальным результаты.