Образовательная панель 5
Случайная величина
Краткая теория для тебя
Случайная величина и распределение вероятностей
Случайная величина — это функция, которая каждому исходу случайного опыта ставит в соответствие число. Для дискретной X задают конечный или счётный набор значений xᵢ с вероятностями pᵢ так, чтобы Σ pᵢ = 1. Множество пар (xᵢ, pᵢ) называют законом распределения.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Математическое ожидание E(X) = Σ xᵢ pᵢ отражает «теоретическое» среднее значение X.
Дисперсия Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² pᵢ показывает, как сильно результаты разбросаны вокруг среднего.

Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины
– Бросок честной кости: возможные x = 1,2,3,4,5,6 с p = 1/6.
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5.
– Подброс монеты, принимаем X=1 при орле, X=0 при решке, p = 1/2.
E(X) = 1·(1/2) + 0·(1/2) = 0,5.

Понятие о законе больших чисел
При повторении n независимых опытов с одинаковым распределением среднее арифметическое результатов \bar Xₙ сходится к E(X) при n → ∞. Это утверждение позволяет связать теоретическую вероятность с практическими измерениями.

Измерение вероятностей с помощью частот
Относительная частота события A в n испытаниях fₙ(A) = n_A / n (где n_A — число появлений A) при большом n стремится к P(A).

Применение закона больших чисел
– В страховании: при большом числе договоров взносы определяют по усреднённым потерям.
– В метрологии: повторные измерения для оценки истинного значения величины.
– В социологии: опросы выборки большого объёма дают близкие к реальным результаты.
Проверь себя
Квиз по теме «Случайная величина»
Проверьте свои знания и узнайте, насколько хорошо вы усвоили тему. Вы можете ответить на эти вопросы?
Начать тест
Как вычисляется математическое ожидание дискретной X?
Дальше
Проверить
Узнать результат
При броске честной кости E(X) равно…
Дальше
Проверить
Узнать результат
Что характеризует дисперсия Var(X)?
Дальше
Проверить
Узнать результат
Закон больших чисел утверждает, что…
Дальше
Проверить
Узнать результат
Ничего страшного
Повтори еще раз
Пройти еще раз
Ничего страшного
Повтори еще раз
Пройти еще раз
Ничего страшного
Повтори еще раз
Пройти еще раз
Хороший результат
Повтори еще раз
Пройти еще раз
Хороший результат!
Повтори еще раз
Пройти еще раз
Отлично!
Пройти еще раз
Частые вопросы по теме